eukl Norm: ||AB||^2 ableiten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mi 04.04.2007 | | Autor: | keinPlan |
| Aufgabe | | ich hatte diese Frage schon einmal gestelt, doch -irrtümlicherweise- das Fälligkeitsdatum nicht verändert... |
Hallo,
Es geht um zwei Matritzen A (100 x 100) und B (100 x 1).
ich muss den Ausdruck [mm] ||A*B||^2 [/mm] nach B ableiten (das "^2 steht dabei für die euklidische Norm der Matrix). Ich habe schon viel herumgerechnet und bin zum Schluss gekommen, dass als Ableitung
[mm] f' = 1/(2 * \wurzel{\summe_{j=1}^{100} [\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1})]^2} ) * 2 * (A * B)^t * \summe_{i=1}^{100}a_{j,i} [/mm]
herauskommen könnte. Ich bin mir aber nicht sicher und ich weiß vor allem nicht, wie ich das verifizieren könnte.
Ich wäre deshalb für Meinungen, Vorschläge oder Korrekturen sehr dankbar.
Meine Vorhergehensweise:
[mm] f(x) = ||AB||^2 = \wurzel{\summe_{j=1}^{100} [\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1})]^2} [/mm]
mittels Kettenregel müsste man das ganze ja dann folgendermaßen ableiten können...
zunächst habe ich die wurzel vernachlässigt um nur 1x die Kettenregel anwenden zu müssen, also :
[mm] f(x) = u(v(x)) = \summe_{j=1}^{100} [\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1})]^2 [/mm]
[mm] f'(B) = u'(v(x)) * v'(x) [/mm]
[mm] u(B)= \summe_{j=1}^{100} (v^2) [/mm]
[mm] v(B) = \summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1}) [/mm]
[mm] u'(B)= \summe(2*v) [/mm]
[mm] v'(B) = \summe_{i=1}^{100}a_{j,i} [/mm]
[mm] f'(B) = \summe_{j=1}^{100} [2*\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1}) * \summe_{i=1}^{100}a_{j,i}] = 2 * (A*B)^t * \summe_{i} \summe_{j} a_{i,j} [/mm]
Wenn ich jetzt die Wurzel vorweg noch berücksichtige, wird das oben erechnete f'(B) zum v'(B)!
[mm]u(B) = 1/2 * v^{-1/2}[/mm]
[mm]v(B) = 2 * (A*B)^t * [/mm]
[mm]u'(B) = 1/2 * v^{-1/2}[/mm]
[mm] v'(B) = 2 * (A*B)^t * \summe_{i} \summe_{j} a_{i,j} [/mm]
[mm] f'(B) = 1/(2 * \wurzel{\summe_{j=1}^{100} [\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1})]^2} ) * 2 * (A * B)^t * \summe_{i=1}^{100}a_{j,i} [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Fr 06.04.2007 | | Autor: | wauwau |
f(x) = [mm] ||AB||^2 [/mm] = [mm] \wurzel{\summe_{j=1}^{100} [\summe_{i=1}^{100}(a_{j,i} * b_{i,1})]^2}
[/mm]
ich würde die normale Definition der Ableitung heranziehen
f'(x) [mm] =\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x+h)-f(x)}{\parallel h\parallel^2}
[/mm]
mit einem Vektor h=(h,h,h,....h) und daher [mm] \parallel h\parallel^2 [/mm] = 10h
wenn du berücksichtigst, dass
[mm] \wurzel{x+a}-\wurzel{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+a}+\wurzel{x}}
[/mm]
schafft man den Grenzübergang wahrscheinlich spielend.
Ausrechnen im Detail kannst du das ja.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
ich würde einfach schreiben (kleine Buchstaben für Vektoren):
$$
[mm] \|A(b+h)\|^2=\langle A(b+h),A(b+h)\rangle=\|Ab\|^2+(\langle Ab,Ah\rangle [/mm] + [mm] \langle Ah,Ab\rangle)+\|Ah\|^2
[/mm]
$$
(ich meine das Quadrat der Norm!) mit [mm] $h\in \IR^{100}$. [/mm] Daraus folgt sofort, dass die Ableitung die (lineare!) Funktion
$$
[mm] h\mapsto 2\langle A^t [/mm] A [mm] b,h\rangle [/mm]
$$
ist, denn das Restglied [mm] $\|Ah\|^2$ [/mm] läßt sich durch [mm] $\|A\|^2\|h\|^2$ [/mm] abschätzen und geht daher quadratisch mit der Norm von $h$ gegen $0$.
Damit haben wir die innere Ableitung der Funktion
$$
[mm] b\mapsto \|Ab\|=\sqrt{\|Ab\|^2}
[/mm]
$$
bestimmt. Anwendung der Kettenregel gibt:
$$
[mm] h\mapsto \frac{1}{2\sqrt{\|Ab\|^2}}\cdot [/mm] 2 [mm] \langle A^t [/mm] A [mm] b,h\rangle=\frac{\langle A^t A b,h\rangle}{\|Ab\|}
[/mm]
$$
als Ableitung. Im 1-dimensionalen Fall, d.h. [mm] $A,b\in\IR$ [/mm] ist das gerade die Multiplikation mit
$$
[mm] |A|\frac{b}{|b|}=|A|\operatorname{sign}(b)
[/mm]
$$
wie es sein soll. Bei $b=0$ ist die betrachtete Funktion natürlich nicht diffbar.
Volker
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